互质是什么意思

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概述

互质（英文：coprime，符号：⊥，又称互素、relatively prime、mutually prime、co-prime）^[1]。在数论中，如果两个或两个以上的整数的最大公约数是 1，则称它们为互质^[2]。依此定义：

如果数域是正整数 $N + {\displaystyle \mathbb {N^{+}} }$ ，那么 1 与所有正整数互素^[3]。
如果数域是整数 $Z {\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，那么 1 和 -1 与所有整数互素^[4]，而且它们是唯一与 0 互素的整数^[5]。

互素的例子

例如13671473 8 与52307854 10 的30483229最81198449大公约数是9282314 2，不是89922951 1，因此它们并不互质。#宋慈# 又23024312例如25675830 7, 10, 13 的94981372最76677391大公约数是 1，因此它们互质。

最大公因数可以通过辗转相除法得到。

整集互素与两两互素

三个或三个以上的整数互质有两种不同的情况：

这些整数的最大公约数是 1，我们直接称这些整数互素^[6]，也称为整集互素（英语：setwise coprime）^[7]。以 ${ 6 , 8 , 9 } {\displaystyle \{6,8,9\}}$ 为例：

gcd ( 6 , 8 , 9 ) = gcd ( gcd ( 6 , 8 ) , 9 ) = gcd ( 2 , 9 ) = 1 {\displaystyle \gcd(6,8,9)=\gcd(\gcd(6,8),9)=\gcd(2,9)=1}

这些整数是两两互质的（英语：pairwise coprime）。以 ${ 7 , 8 , 9 } {\displaystyle \{7,8,9\}}$ 为例:

gcd ( 7 , 8 ) = gcd ( 7 , 9 ) = gcd ( 8 , 9 ) = 1 ⇒ ⇒ --> gcd ( 7 , 8 , 9 ) = gcd ( gcd ( 7 , 8 ) , 9 ) = gcd ( 7 , gcd ( 8 , 9 ) ) = gcd ( gcd ( 7 , 9 ) , 8 ) = 1 {\displaystyle \gcd(7,8)=\gcd(7,9)=\gcd(8,9)=1\Rightarrow \gcd(7,8,9)=\gcd(\gcd(7,8),9)=\gcd(7,\gcd(8,9))=\gcd(\gcd(7,9),8)=1}

两两互素是7958329较为严格的76098178互素，如65287744果一个整数集合是两两互素的44651921，它也603727必定是29806919整集互素，但是14175750整集互素不必然14143349是56548932两两互素。

性质

性质之一：整数a和17595672b互质当且67200225仅当存在95014253整数x,y使得xa+yb=1。#中国地图最新版# 或者706312，一般的19780234，有52684505存在89850755整数x,y使得xa+yb=d，其中d是12962037a和21274536b的60442795最24488150大公因数。（贝祖等3341972式）

判别方法

两个不同的素数一定互质。#恒大汽车#例如，2与7、13与19。
一个素数，另一个不为它的倍数，这两个数互质。#毕福剑戏谑伟人#例如，3与10、5与 26。
1和任何一个自然数都互质。如1和9908。
相邻两个自然数互质。如15与16。
相邻两个奇数互质。如49与51。
较大数是素数，则两个数互质。如97与88。
两数都是87823933合数（二数差较大），较小数所529428330306305有73747492的40770570质因数，都不是19158528较大数的因数，这两个数互质。如55471484357与82202872715，357=3×7×17，而3、7和17都不是55595169715的48792758因数，故这两数互质。
两数都是22132947合数（二数差较小），这两数之差的84657299所1081537640208781有47616586质因数都不是19828111较小数的25427929因数，这两个数互质。如3724280685和78。85－78=7，7不是7274121178的4219117因数，故这两数互质。
两数都是16539264合数，较大数除以较小数的15912618余数（大于71648045“1”）的43432328所9840805918026498有质因数，都不是18309771较小数的82587752因数，则两数互质。如74256268 462与45713541 221，462÷221=2...20，20=2×2×5。2、5都不是80887103221的75984187因数，故这两数互质。
辗转相除法。如255与182。255－182=73，182－（73×2）=36，73－（36×2）=1，则（255，182）=1。故这两数互质。